R2測量士試験過去問題解説 第10回】午前No.27


測量士試験の過去問題を解くシリーズ、令和元年度試験版の第10回です。




以下、「国土地理院」サイト令和元年5月19日の問題を引用して解説して行きます。




 〔No.27〕   
 境界点A,B,C,Dで囲まれた四角形の土地の面積を求めたい。点Bは直接観測できないため,補 助基準点Pを設置し,点A,P,C,Dをトータルステーションを用いて測量し,表 27 に示す平面直 角座標系(平成 14 年国土交通省告示第9号)における座標値を得た。点A,B,C,Dで囲まれた四 角形の土地の面積は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。
 ただし,補助基準点Pから点Bまでの距離は 10.000 m,点Pにおける点Bの方向角は 240°とする。なお,関数の値が必要な場合は,巻末の関数表を使用すること。








正解は5です。下記の3ステップで求めます。

ステップ1 ステップ3で計算しやすいように、D点を原点とした場合の、D 点 からA,P,C点への相対的な座標である A’,P’,C’,D’点 を計算します。

ステップ 2 P’点からB’点を求めます。( B’点 は、D点 を原点とした場合の、 D点からB点への相対的な座標です。)

ステップ 3 与えられた4頂点から四角形の面積を求める公式を使用して四角形A’B’C’D’の面積を求めます。




ステップ1
ステップ3で計算しやすいように、D点を原点とした場合の、D 点 からA,P,C点への相対的な座標である A’,P’,C’,D’点 を計算します。

A’=A - D
 =(x1, y1)
 =(13097.000 – 13070.500, 15046.000 – 15041.000)
=(26.500, 5.000)
P’=P - D
 =(13105.500 – 13070.500, 15073.000 – 15041.000)
  =(35.000, 32.000)
C’=C - D
  =(x3, y3)
 =(13075.500 – 13070.500, 15072.500 – 15041.000)
 =(5.000, 31.500)
D’=D - D
 =(x4, y4)
 =(13070.500 – 13070.500, 15041.000 – 15041.000)
=(0.000, 0.000)




ステップ2
P’点からB’点を求めます。( B’点 は、D点 を原点とした場合の、 D点からB点への相対的な座標です。)

問題文より、点Pから 点Bまでの距離は 10.000 m,点Pにおける点Bの方向角は 240° であることから、下記の様に求められます。

B =P+ (cos240° ×10.000 , sin240°×10.000)
より、
B-D=P+ (cos240° ×10.000 , sin240°×10.000) -D
B’=P’+ (cos240° ×10.000, sin240°×10.000)
 =(x2, y2)
 =(35.000 – 0.500 × 10.000, 32.000 – 1.732 ÷ 2.000 × 10.000)
 =(30.000 , 23.340)




ステップ3
与えられた4頂点から四角形の面積を求める公式を使用して四角形A’B’C’D’の面積を求めます。

ステップ1とステップ2から、 点 A’B’ C’D’ の座標は下記のようになります。
A’=(x1, y1) =(26.500, 5.000)
B’=(x2, y2) =(30.000 , 23.340)
C’=(x3, y3) =(5.000, 31.500)
D’=(x4, y4) =(0.000, 0.000)

S=与えられた4頂点から四角形 A’B’C’D’ の面積を求める公式より
 =0.5×(x1y2 – x2y1 + x2y3 – x3y2 + x3y4 – x4y3 + x4y1 – x1y4)
 =0.5×(x1y2 – x2y1 + x2y3 – x3y2)   ※ x4とy4は0のため
 =0.5×(26.500 × 23.340 – 30.000 × 5.000 + 30.000 × 31.500 – 5.000 × 23.340)
 =0.5×1296.810
 =648.405




よって解答は5となります。
ある点からの相対的な点を求めたり、与えられた頂点から四角形の面積を求める公式を覚えていないと計算がとても煩雑になります。

以上です。




[夙川のみなもの下に広がる地図のような模様]

「R2測量士試験過去問題解説 第10回】午前No.27」への4件のフィードバック

  1. 現在 日本測量協会の参考書を使って学んでいます。
    解説の動画のサイトは作成していないのでしょうか.

    1. コメントを有難うございます。
      これまで解説の動画サイトは作成しておりませんし、現在のところ作成する予定はございません。
      よろしくお願いいたします。

  2. 初めまして。
    高校数学のベクトルと外積を使い求めました。
    邪道でしょうか?

    点Dを原点とした相対座標はA(26.5,5),P(35,32),C(5,31,5),D(0,0)
    ベクトルPB=10(cos240,sin240)=(-5,-8.6603)
    ベクトルDB=ベクトルDP+ベクトルPB=(35,32)+(-5,-8.6603)≒(30,23.34)

    四角形ABCD=三角形DAB+三角形DCB
    三角形DABの倍面積=(ベクトルDAとベクトルDBの外積)
    =26.5×23.34-5×30=468.51
    三角形DCBの倍面積=(ベクトルDCとベクトルDBの外積)
    =30×31.5-5×23.34=823.3

    (468.51+823.3)÷2=648.405

    1. コメントを有難うございます。
      私の解法は、弊社のこの問題に対する公式の見解を代表したものではありません。
      邪道どころか、一番の目的は素早く正しい答えを導く事ですので、自分自身が解きやすく簡単に思える方法で解く事ができれば一番良いと思います。
      こちらこそ今後の参考にさせて頂きます。

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