測量士試験の過去問題を解くシリーズ、令和元年度試験版の第10回です。

以下、「国土地理院」サイトの 令和元年5月19日の問題を引用して解説して行きます。

 〔No．27〕 　　
　境界点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄで囲まれた四角形の土地の面積を求めたい。点Ｂは直接観測できないため，補 助基準点Ｐを設置し，点Ａ，Ｐ，Ｃ，Ｄをトータルステーションを用いて測量し，表 27 に示す平面直 角座標系（平成 14 年国土交通省告示第９号）における座標値を得た。点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄで囲まれた四 角形の土地の面積は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。
　ただし，補助基準点Ｐから点Ｂまでの距離は 10.000 m，点Ｐにおける点Ｂの方向角は 240°とする。なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。

正解は5です。下記の３ステップで求めます。

ステップ１　ステップ３で計算しやすいように、Ｄ点を原点とした場合の、Ｄ 点 からＡ,Ｐ,Ｃ点への相対的な座標である Ａ’,Ｐ’,Ｃ’,Ｄ’点 を計算します。

ステップ ２　Ｐ’点からＢ’点を求めます。( Ｂ’点 は、Ｄ点 を原点とした場合の、 Ｄ点からＢ点への相対的な座標です。)

ステップ ３　与えられた4頂点から四角形の面積を求める公式を使用して四角形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’の面積を求めます。

ステップ１
ステップ３で計算しやすいように、Ｄ点を原点とした場合の、Ｄ 点 からＡ,Ｐ,Ｃ点への相対的な座標である Ａ’,Ｐ’,Ｃ’,Ｄ’点 を計算します。

Ａ’＝Ａ － Ｄ
　＝(x1, y1)
　＝(13097.000 – 13070.500, 15046.000 – 15041.000)
＝(26.500, 5.000)
Ｐ’＝Ｐ － Ｄ
　＝(13105.500 – 13070.500, 15073.000 – 15041.000)
　 ＝(35.000, 32.000)
Ｃ’＝Ｃ － Ｄ
　 ＝(x3, y3)
　＝(13075.500 – 13070.500, 15072.500 – 15041.000)
　＝(5.000, 31.500)
Ｄ’＝Ｄ － Ｄ
　＝(x4, y4)
　＝(13070.500 – 13070.500, 15041.000 – 15041.000)
＝(0.000, 0.000)

ステップ２
Ｐ’点からＢ’点を求めます。( Ｂ’点 は、Ｄ点 を原点とした場合の、 Ｄ点からＢ点への相対的な座標です。)

問題文より、点Ｐから 点Ｂまでの距離は 10.000 m，点Ｐにおける点Ｂの方向角は 240° であることから、下記の様に求められます。

Ｂ ＝Ｐ＋ (cos240° ×10.000 , sin240°×10.000)
より、
Ｂ－Ｄ＝Ｐ＋ (cos240° ×10.000 , sin240°×10.000) －Ｄ
Ｂ’＝Ｐ’＋ (cos240° ×10.000, sin240°×10.000)
　＝(x2, y2)
　＝(35.000 – 0.500 × 10.000, 32.000 – 1.732 ÷ 2.000 × 10.000)
　＝(30.000 , 23.340)

ステップ３
与えられた4頂点から四角形の面積を求める公式を使用して四角形Ａ’Ｂ’C’Ｄ’の面積を求めます。

ステップ1とステップ2から、 点 Ａ’Ｂ’ C’Ｄ’ の座標は下記のようになります。
Ａ’＝(x1, y1) ＝(26.500, 5.000)
Ｂ’＝(x2, y2) ＝(30.000 , 23.340)
Ｃ’＝(x3, y3) ＝(5.000, 31.500)
Ｄ’＝(x4, y4) ＝(0.000, 0.000)

Ｓ＝与えられた4頂点から四角形 Ａ’Ｂ’C’Ｄ’ の面積を求める公式より
　＝0.5×(x1y2 – x2y1 + x2y3 – x3y2 + x3y4 – x4y3 + x4y1 – x1y4)
　＝0.5×(x1y2 – x2y1 + x2y3 – x3y2) 　　※ x4とy4は0のため
　＝0.5×(26.500 × 23.340 – 30.000 × 5.000 + 30.000 × 31.500 – 5.000 × 23.340)
　＝0.5×1296.810
　＝648.405

よって解答は5となります。
ある点からの相対的な点を求めたり、与えられた頂点から四角形の面積を求める公式を覚えていないと計算がとても煩雑になります。

以上です。

測量士試験の過去問題を解くシリーズ、令和元年度試験版の第9回です。

以下、「国土地理院」サイトの 令和元年5月19日の問題を引用して解説して行きます。

 〔No．25〕 　　
　図 25 に模式的に示すように，基本型クロソイド（対称型）の道路建設を計画した。点Ａ及び点Ｄを クロソイド曲線始点，点Ｂ及び点Ｃをクロソイド曲線終点とし，クロソイドパラメータは 150 m，円曲線の曲線半径 R＝250 m，円曲線の中心角θ＝30°，円周率π＝3.142 とするとき，点Ａから点Ｄの路線長は幾らか。最も近いものを次の中から選べ。
　なお，関数の値が必要な場合は，巻末の関数表を使用すること。

1. 221 m
2. 266 m
3. 311 m
4. 336 m
5. 361 m

解答は3です。以下解説します。

方針としまして、AB間、BC間、CD間の距離を分割して求めた距離を使用してAからDの路線長を求めます。

AB間とCD間の距離は、クロソイド曲線で表されます。
L=クロソイド曲線の長さ,
R=円曲線の曲線半径,
A=クロソイドパラメータ
と置くと、クロソイド曲線の公式から、

L×R=A^2　　　　　　　　　　　　　…①

が成り立ちます。

クロソイド曲線のAB間またはCD間の距離は等しいのでどちらもLと置けます。
問題文より、

R=250m,
A=150m

と与えられていますので、

AB間またはCD間の距離
=L
=(A^2)÷R 　　　　　　　　　　　　 …①より
=(150×150)÷250
=90m 　　　　　　　　　　　　　　…②

となります。

BC間の距離は、 円曲線として表されます。
θ=円曲線の中心角,
π=円周率,
R=円曲線の曲線半径
と置くと、

円曲線の距離=2×Π×(θ÷360)×R 　 …③

が成り立ちます。
問題文より、

Π=3.142,
θ=30°,
R=250m

と与えられていますので、

BC間の距離
= 2×Π×(θ÷360)×R　　　　　　　…③より
= 2×3.142×(30÷360) ×250
≒130.92 　　　　　　　　　　　　 …④

となります。

上記②と④の結果から、

AD間の路線長=AB間の距離+BC間の距離+CD間の距離
≒90+130.92+90
≒310.92　　　　　　　…⑤

となります。
⑤ と問題文の選択枝の中で最も近い値は3番の311mとなります。

以上です。